虚数的妙用(Usefulness of Imaginary

2020-08-03 阅读355 点赞591


谈起「虚数」这个词,只要学习过高中数学的人,不难联想到$$\sqrt{-1}=i$$,相信也顺便想起那段与 $$i$$ 奋斗的时光。对许多人而言,将数系由自然数→整数→有理数→实数,逐步地扩展开来,还说得上道理。但对于複数,不仅数的很多性质不再适用(例如比较大小),连描述複数系的结构,也得利用平面来对应。更重要的是,除了说明代数基本定理外,複数还能有什幺应用呢?

在史蒂芬.霍金所写的《胡桃裏的宇宙》一书,我们可以看见複数被理论物理学家拿来解说时空模型,相当深刻有趣。值得在此与高中教师同仁分享。整个故事由「时间是什幺?」这个困扰人们的问题(至今仍然依旧)开始谈起,首先登场的是牛顿。

1687年所出版的《自然哲学之数学原理》(Principia),牛顿提出了第一个时间与空间的数学模型。在他的模型中,时间与空间是万事万物的背景,却不受万事万物的影响。时间独立于空间之外,像是一条直线或铁轨,往两端延伸没有尽头;而且是永恆不变的。换句话说,它过去一直存在,将来也会继续存在。这样的模型,符合多数人对时间的感觉,却引起哲学家(包括康德在内)极大的困扰:假如宇宙是被创造出来的,那幺在创世之前,为何会等待无限长久的时间呢?另一方面,假如宇宙过去一直存在,那幺该发生的事不是应该都发生了?历史不就早该终结了?康德将这个问题称为「纯粹理性之二律背反」,因为它似乎是逻辑上的矛盾,根本不可能有解。事实上,这个矛盾只存在牛顿的数学模型中!因为其中的时间是一条无限长的直线,与宇宙中任何事物毫无关联。这个缺陷得以解决,是爱因斯坦的功劳。

爱因斯坦在1915年讨论弯曲时空的观念,提出广义相对论,并在1919年得到实验证实后,使得我们对于时间与空间有了不同的看法。广义相对论将时间维度与空间的三个维度结合起来,形成「时空」。这个理论将重力的效应包含在内,讨论物质与能量的分布会让时空弯曲变形,也就是说,时空并不是平坦的。在这样的时空模型中,物体会试图沿着直线运动,但受时空弯曲的缘故,它的路径看起来也是弯曲的,彷彿受到重力场的影响。在广义相对论中,时间与空间纠缠在一起,如何也解不开来。你想要让空间弯曲,一定会牵连到时间,因此,时间与空间并非互相独立,也并非独立于宇宙之外。

这样一个「在宇宙裏」所定义的时间,会有终点与起点。至于起点之前,或是终点之后,就没有定义了。我们如何描述时间与空间的形状,就必须引入「虚数时间」的想法。

所谓的「虚数时间」是什幺呢?必须先由「虚数」谈起,如果将实数看成对应于一条水平线上的各个位置的数,零在中间,正实数在右边,负实数在左边。如此一来,虚数可以看成对应于一条垂直线上各个位置的数,零仍然在中间,正虚数画在上面,负虚数画在下面。因此,我们将虚数视为一个新的数,与实数相互垂直,不需要任何的实质意义。「虚数时间」是指由虚数来度量表示的时间。

在广义相对论中,实数时间与三维空间结合成四维的时空。可是,实数时间维度与三个空间维度却有明显的不同:时间总是由过去流向未来,而在空间中则是能向前进,也能向后退。换句话说,我们可以在空间中转向,但在时间中不能这幺做。然而在「虚数时间」中,由于它垂直于实数时间,彷彿是第四个空间维度,拥有的可能性就大大地增加,在这样的架构下,时间才会出现形状!

例如,考虑一个虚数的时空,结构类似地球表面的球面,并且假设虚数时间是纬度,用距离南极的远近来表示虚数时间。那幺,在虚数时间中,宇宙的历史就是由南极开始。你不能问:「开始之前发生过什幺?」这是个毫无意义的问题,那样的时间根本没有定义,就像南极之南不存在一样。在地球表面上,南极是个完全正常的点,所有其他地点适用的几何法则,在南极一体适用。从南极出发往北走,纬圈会逐渐变大,对应着宇宙随着虚数时间而扩张。在赤道处,宇宙达到极大值。假始虚数时间继续增加,宇宙便开始收缩,最后在北极处缩成一点。然而,即使宇宙在南北两极没有大小,这两点也不是奇异点,如同地球的南北极是地球表面完全正常的两点。这就意味着在虚数时间中,宇宙的起源可以是时空中的正常点;宇宙其他时刻所适用的物理定律,在这个起点也同样适用。

你看,「虚数」的妙用真大。

附注:本文改写自史蒂芬.霍金,叶李华译,《胡桃裏的宇宙》,台北:大块文化,2001年。

参考文献
史蒂芬.霍金,叶李华译,《胡桃裏的宇宙》,台北:大块文化,2001年。